曲线运动是一种常见的运动形式，运动的合成与分解、平抛运动和匀速圆周运动等知识是高考的重点和热点内容之一，其中平抛运动的规律和研究方法在高考中命题较多，复习时要熟练掌握运动合成与分解的方法、平抛运动的规律和推论、圆周运动的处理方法等。本文通过归纳总结，引导考生绕过障碍快速决策。

一、运动的合成与分解

1、概念的理解

⑴做曲线运动的物体，其运动径迹将为曲线;物体所受的合外力与速度不共线，处于非平衡态;曲线上任一点速度的方向在该点的切线方向朝向前进的一侧。

⑵物体同时参与两个或两个以上的分运动时物体的实际运动是合运动，参与的运动是分运动，合运动与分运动是同时进行的，每一分运动又是独立的。

⑶运动要用物理参量来描述，描述运动的参量s、v、a、等都是矢量，研究运动的合成与分解就是研究描述运动参量的合成与分解，它们都遵从平行四边形定则;在实际的合成与分解时，除要遵循平行四边形定则外，还要考虑实际作用效果。

2、易错点分析

⑴曲线运动的条件：物体是否做曲线运动由速度和合外力的夹角决定，与轨迹与合外力的夹角没有关系;速度的方向由轨迹来确定。

⑵合运动与分运动的关系：一个物体可能同时参与两个或两个以上的分运动，此时合运动与分运动是同时进行的，每一分运动又是相互独立的。

3、考查与应用

⑴考查曲线运动的条件和轨迹

例1.一个质点从M到N做曲线运动，当它通过P点时，右图中表示出速度v和加速度a的方向关系图中可能正确的是( )

解析：物体做曲线运动时，其所受合外力一定与速度方向不共线，且其所受合外力应指向曲线轨迹的凹侧，依加速度方向和合外力方向时刻一致，故AC对。

点评：快速解题的关键是抓住物体做曲线运动的条件，即速度方向与合外力不共线，且合外力指向曲线“凹”向一侧。

⑵考查运动的合成与分解

例2.一艘船用v1的速度以最短时间横渡过河，另一艘船用v2的速度从同一地以最短航程过河，结果两船的轨迹恰好重合(设河水流速保持不变)，求两船过河所用时间比?

解析：以最短时间过河，速度v1必垂直河岸。设水速为v0，过河时间为t1，合速度与岸的夹角为θ，则满足和d=v1t1。以最短航程过河，因轨迹恰重合，其合速度v必与v2垂直。设过河时间为t2，满足v0sinθ=v2和v2cosθt2=d，联立解得。

点评：解渡河问题须熟练掌握住运动的合成与分解法则，巧构速度三角形，根据两个分运动的独立同时性，运用匀速直线运动规律和几何关系解决。

应用

例3.在玻璃生产线上，宽9m的成型玻璃板以v1=2m/s的速度连续不断地向前行进，在切割工序中，钻石切割速度为v2=10m/s，为了使切下的玻璃板都成规则尺寸的矩形，切割刀的轨道应该如何控制，切割一次的时间是多长?

解析：欲使玻璃板切成矩形，刀应在行进中切割，一方面与玻璃板同速，另一方面垂直切割，即刀应控制在这两个速度的合速度上，由图知，即，切割一块的时间为。

点评：要熟练掌握运动的合成与分解法则，先弄清实际作用效果，再巧构速度三角形，依两分运动的独立同时性解决。

4、跟踪训练

①如图甲所示，在长约1m的一端封闭的玻璃管中注满清水，水中放一个圆柱形的红蜡块R(圆柱体的直径略小于玻璃管的内径，轻重适宜，使它能在玻璃管内的水中匀速上升)，将玻璃管的开口端用胶塞塞紧。将此玻璃管迅速竖直倒置(如图乙)，红蜡块R就沿玻璃管由管口A匀速上升到管底B。若在将玻璃管竖直倒置、红蜡块刚从A端开始匀速上升的同时，将玻璃管由静止开始水平向右匀加速移动(如图丙)，直至红蜡块上升到管底B的位置(如图丁)。( )

A.红蜡块做速度大小、方向均不变的直线运动

B.红蜡块做速度大小变化的直线运动

C.红蜡块做加速度大小、方向均不变的曲线运动

D.红蜡块做加速度大小变化的曲线运动

解析：红蜡块在管中同时参与两个分运动，在浮力作用下匀速上升，在外力的作用下水平向右匀加速移动。因两分运动是独立的，故在相同时间里在竖直方向上发生的位移都相同，而在水平方向上随速度的增大位移会越来越大，故其运动径迹是曲线;又竖直方向上速度不变，水平方向上速度均匀增大，故蜡块做匀变速曲线运动，即C对。

②某人骑自行车以10m/s的速度在大风中向东行驶，他感觉风正以相对于车同样大小的速率从北方吹来，实际上风的速度是( )

A.14m/s，方向为北偏西450 B.14m/s，方向为南偏西450

C.10m/s，方向为正北 D.10m/s，方向为正南

解析：风的实际速度产生两个效果，向东的分量与车同速，向南的分量与车速等大，故风从正西北吹来，大小为14m/s，即选A。

③宽为d的河水中各点水的流速大小与各点到河岸的垂直距离成正比，即v=kx，其中，x是各点到近岸的距离。若小船船头垂直河岸渡河，小船划水速度为v0，则( )

A.小船渡河的轨迹为曲线 B.小船渡河的轨迹为直线

C.小船到达离河岸处，船速为

D.小船到达离河岸处，船速为

解析：因船在渡河过程中划水速度不变，水流速度先变大后变小，而船的实际运动是这两个运动的合运动，且河中间处水速最大，是水速变化的转折点，故小船渡河运动的轨迹为曲线;在小船到达离河岸处水速为2V0，在小船到达离河岸处水速为v0，于是船的实际速度为和，故选AC。

④如图所示，放在墙角的均匀直杆AB的A端靠在竖直墙上，B端放在水平地面上。当滑到与水平面成α的图示位置时B点的速度大小为v，则A点的速度大小?

解析：杆AB在下滑过程中B点的瞬时速度为v，它实际上可分解为垂直于杆的转动分速度和平行于杆方向上的拉动分速度，此时的v∥=vcosα，同理A点的速度可分解为v∥=vAcos(90-α)，而沿杆拉动方向上的分速度是相等的，因此vA=vcotα。

二、平抛运动

1、概念的理解

⑴将物体以某一速度沿水平方向抛出后，只在重力作用下的运动叫平抛运动。因只受重力作用，故做a=g的匀变速曲线运动;物体在任意一段时间内速度增量恒为 △v=g△t，在每隔相等时间里物体速度的增量都相同。

⑵因平抛运动的在水平方向不受力而做匀速直线运动，在竖直方向上受重力做自由落体运动。两个分运动是独立同时进行的，因此若以抛出点为坐标原点建立水平抛出方向为x轴的直角坐标系可得x=v0t和，消去t得其轨迹为抛物线的一部分。

⑶平抛运动在空中的飞行时间只有竖直分运动决定，即由高度决定与水平速度的大小无关。水平位移由高度和初速度共同决定。

2、易错点分析

⑴平抛运动的轨迹是曲线，但因只受重力产生恒定的加速度mg=ma;物体在重力作用下在任意相等时间里速度的增量都是相同的，即△V=g△t，故平抛运动的物体每秒速度的增量总是大小相等，方向也相同。

⑵平抛运动的时间由高度决定，水平位移的大小由初速度和下落的高度共同决定。若将一球水平抛出撞在一个斜面上其点，若其初速扩大一倍，有人误认为其水平射程也扩大一倍，错在误认为下落时间不变。

⑶物体在斜面上平抛运动时只有重力的一个分力产生加速度，或物体受垂直初速方向的恒定合外力作用做类平抛运动，不能盲目套公式，而要弄清题意，依据情景找出等效重力加速度后再求解。

⑷做平抛运动的物体若选择的参考系不同，物体的运动性质也会发生相应的变化。要依受力情况，分别判断物体在各轴上的运动性质，再运用相关解题。

3、考查与应用

⑴平抛运动的规律

例4.如图所示，在斜面上O点先后以V0和2V0的速度水平抛出P、Q两小球，则两小球从抛出至第一次落点的水平位移大小之比可能为( )

A.1：2 B.1：3 C.1：4 D.1：5

解析：设两小球水平射程为x1、x2，下落高度为y1、y2，在空中运行的时间为t1、t2，则二球的水平位移和竖直位移分别为，;，。

若斜面底端在P、Q间(如OB面)，此时以速度v0水平抛出的P球将落在F点，以速度2v0水平抛出的Q球将落到水平面上的C点，由和成立。由图知，即。若斜面较短(如OA面)，则两小球均落到水平面上的P点和Q点，即。若斜面足够长(如OC面)，两小球分别落到斜面上E、Q点，则两球位移与水平方向夹角相等，即，故选ABC。

点评：平抛运动能从多个侧面考察对基础知识的理解，以及分析、推理和思维能力。本例通过多种可能性的分析和思考，加深对基础知识的理解和领悟，强化对典型物理模型的拓展应用。

⑵平抛运动实验

例5.在做“研究平抛物体的运动”的实验中，为了确定小球不同时刻在空中所通过的位置，实验时用了如图所示的装置。先将斜槽轨道的末端调整水平，在一块平整的木板表面钉上白纸和复写纸。将该木板竖直立于水平地面上，使小球从斜槽上紧靠挡板处由静止释放，小球撞到木板并在白纸上留下痕迹A;将木板向远离槽口平移距离x，再使小球从斜槽上紧靠挡板处由静止释放，小球撞在木板上得到痕迹B;又将木板再向远离槽口平移距离x，小球再从斜槽上紧靠挡板处由静止释放，再得到痕迹C。若测得木板每次移动距离x=10.00cm，AB间距y1=5.02cm， BC间距y2=14.82cm。请回答：

①小球每次都要从斜槽上紧靠挡板处由静止释放的原因是____________。

②根据以上直接测量的物理量来求得小球初速度的表达式为v0=_________。

③小球初速度的值为v0=______m/s。(用题中所给字母表示，取g=9.80m/s2)。

解析：为保证小球每次平抛的初速度相同，故要从同一位置处由静止释放。又板移动相同距离时，球在两次移动距离内的时间也相同，即;又竖直方向上在连续相等时间间隔内有，整理得，代入数据得v0=1.00m/s。

点评：平抛运动实验是一个重要实验，对其进行变通和拓展，能加深对规律和注意事项的理解，达到遇新不乱，举一反三，触类旁通之目的。

⑶平抛运动的二级结论

例6.从同一斜面上以v0和2v0抛出的物体都落在斜面上时与斜面的夹角α和β的关系为( )

A.α>β B.α<β C.α=β D.2α=β

解析：设从倾角为θ的斜面顶端A处以v0水平抛出后落在斜面上时速度与斜面的夹角为α，则速度v与v0的夹角为(α+θ)，由平抛运动的规律得和，即，显见夹角α与物体飞行时间t无关，故选C。

⑷应用

例7.在排球比赛中，若排球场长L=18m，宽d=9m，网高为h1=2m，运动员站在离网s1=3m的线上正对网前跳起将球水平击出。

⑴设击球点的高度为h2=2.5m，试问击球的速度在什么范围内才能使球既不触网又不越界。

⑵若击球点的高度小于某个值h，那么无论以多大的速度水平击球，球不是触网就是越界，求这个高度h。

解析：⑴设在h2高处击球恰触网，由和得m/s;若在h2高处击球恰越界，由和得m/s;故球既不触网又不越界的条件是m/s。

⑵在h高处击球触网时有与成立，压界时有与成立。依题意知时既触网又压界，故m。

4、跟踪训练

①将一个小球以速度v水平抛出(抛出点不固定)，要使小球能够垂直打在一个斜面上，且斜面与水平方向的夹角为α，那么下列说法中正确的是( )

A.若保持水平速度v不变，斜面与水平面间的夹角α越大，小球的飞行时间越长

B.若保持水平速度v不变，斜面与水平面间的夹角α越大，小球的飞行时间越短

C.若保持斜面与水平面间的夹角α不变，水平速度v越大，小球的飞行时间越长

D.若保持斜面与水平面间的夹角α不变，水平速度v越大，小球的飞行时间越长

解析：因球做平抛运动，则其飞行过程中任一时刻的速度都由水平方向上的v和竖直方向上的vy=gt合成的。而题中要求小球垂直撞击，故满足，因此在v不变时夹角α越大，球飞行时间越短，在保持夹角α不变时初度v越大，球飞行时间越长，故选BC。

②如图所示在一次空地演习中，离地H高处的飞机以水平速度v1发射一颗炮弹欲轰击地面目标P，反应灵敏的地面拦截系统同时以速度v2竖直向上发射一颗拦截炮弹。设拦截系统与飞机的水平距离为s，若拦截成功，不计空气阻力，则v1、v2应满足的关系为( )

A.v1=v2 B.

C.D.

解析：平抛运动是水平方向上的匀速直线运动和竖直方向上的自由落体运动的合运动，又拦截炮弹竖直向上抛出其运动可分解为竖直向上的匀速直线运动和自由落体运动，因此在拦截炮弹看来投下的炮弹在竖直方向上是匀速直线运动，故拦截成功时应满足H=v2t，又投下的炮弹满足s=v1t，联立解得，即选D。

③倾斜雪道长25m，顶端高15m，下端经过一小段圆弧过渡后与很长的水平雪道相接，如图所示。一滑雪运动员在倾斜雪道顶端以v0=8m/s的速度水平飞出，在落到倾斜雪道上时，运动员靠改变姿势进行缓冲使自己只保留沿斜面的分速度而不弹起。除缓冲外运动员可视为质点，过渡轨道光滑，其长度可忽略。设滑雪板与雪道的动摩擦因数μ=0.2，求运动员在水平雪道上滑行的距离(取g=10m/s2)?

解析：建立图示的直角坐标系，斜面的方程为

，运动员飞出后由和

得t=1.2s，落点横坐标x1=v0t=9.6m，落点离斜面顶端距离，落点距地的高度。

接触斜面前的水平分速度vx=8m/s，竖直分速度vy=gt=12m/s，沿斜面的速度大小为，设运动员在水平雪道上运动的距离为s2，由动能定理得，得s2=74.8 m。

④如图所示，从倾角为θ足够长的斜面顶点A以某一水平初速V抛出一球，若不计空气阻力，从球抛出开始计时，求经多长时间球到斜面的距离最大?并求该最大值?

解析：球平抛后只受重力作用，建立图示的坐标系并将各量正交分解得：v∥=vcosθ，v⊥=vsinθ，g∥=gsinθ，g⊥=gcosθ。由球的运动性质知：在x轴上做初速度为v∥加速度为g∥的匀加速直线运动，在y轴上做类上抛运动;显见当上抛到达最高点时距斜面最远，由v⊥= g⊥t得，又v⊥2=2 g⊥h，故。

三、匀速圆周运动

1、概念的理解

⑴圆周运动的物体径迹是圆周或圆弧，若物体在任何相等的时间里通过的弧长都相同则物做匀速圆周运动;圆运动物体单位时间内通过的弧长表线速度，即;单位时间内半径转过的弧度表角速度，即;物体运动一周所用的时间表周期T。且各个参量间存在依存关系v=rω、。

⑵圆运动的物体合外力不一定指向圆心，其中向心的分量改变速度的方向，切向分量改变速度的大小。匀速圆周运动的物体所受合外力指向圆心，产生向心加速度，此时物体也处于非平衡态。

⑶圆运动物体的向心力突然消失或不足时物体做远离圆心的运动，若向心力大于圆运动必要的向心力时物体将向心运动。卫星的变轨就是通过改变速度使等式不成立来调整的。

2、易错点分析

⑴圆运动物体满足和a=rω2，有人易辨错，正确理解是：在v一定时，由知a与r成反比;在ω一定时，由a=rω2知a与r成正比。

⑵有关皮带传动问题应抓住，不打滑皮带连接的各部分线速度相同，同一轮轴上的各点角速度相同。再灵活运用和进行判断。

⑶圆运动的向心力可能是物体所受的合外力，也可以是几个力的合力，还可能是某个力的一个分力，不少人分析受力时单独列出向心力这是错误的。物体在轻杆、细绳、弹簧和轨道作用下做圆运动时，轻杆既可施拉力也可施压力，有双向性;细绳只能施加向内的拉力;弹簧的弹力也是双向性的，可拉可压;轨道只能施加弹力，是单一方向的。

3、考查与应用

⑴向心力来源

例8.在高速公路的拐弯处，路面造得外高内低，即当车向右拐弯时，司机左侧的路面比右侧的要高一些，路面与水平面间的夹角为θ。设拐弯路段是半径为R的圆弧，要使车速为v时车轮与路面之间的横向摩擦力等于零，角θ应等于( )

A.

B.

C.

D.

解析：部分同学认为是重力的一个分力提供向心力，运用而误选A。事实上欲使摩擦力为零，应由重力和支持力的合力提供向心力，即，故，故选B。

点评：解题时可作右侧的圆弧运动轨迹图来判断。对圆运动物体的受力情况不能做出正确的分析，特别是静摩擦力参与提供向心力的情况分析不透，对圆周运动和平抛运动的规律，不能灵活应用等会在解题中出现失误。

⑵临界状态的选取

例9.一长为L的细杆水平放置，杆中点放一小物P。今让细杆突然以角速度ω绕过A点垂直于细杆的水平轴在竖直面内顺时针匀速转动，问细杆角速度ω为多大时，物P会与细杆会发生碰撞?

解析：杆突然转动后，物P开始自由下落。二者恰相碰的临界条件是物P恰与杆的B点相碰，有和得;若杆速较快，会在杆转动一周后追上物体，即，整理得，故相碰的条件是，或。

点评：不少同学对刚好发生碰撞的临界状态分析不清，少数同学只能得出一种情况，全面分析两物的运动性质及正确认识临界状态是处理本题的关键。

⑶圆运动的周期性

例10.如图所示，半径为R的圆板做匀速圆周运动，当半径OB转到某一方向时，在圆板中心正上方h高处以平行于OB方向水平抛出一球，欲使球与圆板只碰撞一次且落点为B，求小球的初速和圆板转动的角速度各是多少?

解析：球平抛落在B点满足和，故;设小球在空中运动的时间里圆板转了n圈，则有(其中n=1,2,3,4…)。

点评：处理平抛速度时一般没问题，然在研究圆板转速时部分同学只求出了n=1这种特殊情况，忽略了圆运动的周期性而失误。

4、跟踪训练

①两溜冰运动员甲的质量为70kg，乙的质量为36kg，面对面拉着弹簧做溜冰表演，若两人相距0.9m，弹簧秤的示数为21N，则( )

A.两人的线速度相等，约为1m/s

B.两人的角速度相等，约为1rad/s

C.两人的运动半径相等，为0.45m

D.两人的运动半径不等，甲为0.3m，乙为0.6m

解析：两人对拉时都做圆周运动，二人在一条直线上绕一个共同的中心运动，即二人的角速度相等，由m甲r甲ω2=m乙r乙ω2=21得ω=1rad/s，r甲=0.3m，r乙=0.6m，故选BD。

②长为L的轻杆，一端固定着一个小球，另一端可绕光滑的水平轴转动。使球在竖直平面内运动，设小球在最高点的速度为v，则( )

A.v的最小值为

B.v由逐渐增大时杆对球的弹力也增大

C.v增大时向心力也增大

D.v由逐渐减小时杆对球的弹力增大

解析：因球在竖直面内做圆运动，由重力和杆的作用力共同提供其圆周运动的向心力，且杆可以施沿各个方向上的作用力，由

知在轨道半径一定的条件下，速度增大向心力也随之增大，速度减小向心力也随之减小。又小球所受重力是一个定值，因此增减的部分全部由杆提供，故BC对D错。在最高点处重力和杆的支持相平衡时球的速度可以为零，即A错。

③用手拉着轻质长绳L的一端在水平桌面上绕O点以角速度ω做半径为r的匀速圆周运动，绳的另一端系一个质量为m的小球恰在水平桌面上以O点为圆心的另一个圆弧上运动，求球与桌面间的动摩擦系数。

解析：绳的张力T产生两个效果，T1提供圆运动的向心力，T2克服摩擦做功使物体线速度的大小不变。设大环半径为R，由几何关系知，设T1与T的夹角为θ，则，，故。

④光滑圆锥固定在水平地面上，在锥顶用长为L的细线悬挂一质量为m的小球，母线与竖直轴线的夹角为300，求小球以和的速率绕锥体轴线做水平匀速圆周运动时细线对物体的拉力。

解析：转速小时球在重力、弹力和拉力的作用下转动，当弹力为零时球开始脱离锥面，此时，，故。在v1和T1cosθ+Nsinθ=mg得。在v2>v时球漂起，设悬线与竖直方向间的夹角为α，转动时由和得T2=2mg。