溜溜球发源于美国,近年来风行于我国青少年学生,许多人都为其能够/自动上爬0而感到神秘莫测,大学生们也深感好奇,爱不释手。然而,如果老师能够抓住时机,正确地加以引导,让同学们利用已学过的力学知识分析其中的原理,学生的学习兴趣将会上升到一个新的高度,对于培养学生研究实际问题!解决实际问题的能力也大有益处。真可谓乐学之道。下面笔者就对溜溜球的力学原理及运动过程进行一些分析。

1 构造

图1为溜溜球的构造图,一对薄片圆盘,直径一般为58-65mm,厚为3mm,塑料或硬卡纸制成;中间为一段圆柱状空芯薄壁中轴,直径一般为8mm,长约为3mm。圆盘粘在中轴两侧,然后在轴上中点处钻一小孔,系上1m长细绳,并在细绳的另一端系上圆环。

2 游戏

游戏时,把细绳全部紧紧地缠绕在中轴上,用某一手指套住圆环。将溜溜球释放后它就会马上逆细绳缠绕方向转动,竖直下落逐渐解脱细绳的缠绕,直到细绳全部展开为止。随后,它又会自动顺着同一转动方向往上爬,使细绳重新缠绕在中轴上。当溜溜球停止转动后,随即又沿反方向摆脱细绳缠绕转动下落,然后上爬。下落,上爬,周而复始。只要制作得法,摆弄灵巧,溜溜球就会不停地转动起来,饶有趣味。

3 建立理想模型

中轴为一空芯薄壁圆柱,半径为r,质量为m1,中轴两侧为一对薄片圆盘,半径为R,每个圆盘的质量为m2。设溜溜球的整体质量为m,则有

m=m1+2m2 (1)

溜溜球对通过其质心C的转轴z的转动惯量J为

J=m1r2+2m2R2/2=m1r2+m2R2 (2)

为了分析方便,1、假设溜溜球下落的初始速度为Vco=0,初始转速度ω0=0;2、假设细绳是完全弹性体(即不考虑球体转向时平动动能的损失);3、暂不考虑空气的阻尼和细绳的摩擦阻力;4、忽略细绳的质量。

4 进行理论分析

溜溜球的运动可看成整个球体随质心C在垂直方向上的平动和绕通过质心的转轴Z的转动的迭加。如图2所示,假设溜溜球在“上爬下走”过程中,细绳的张力为T,重力加速度为g,质心加速度为ac,转体所受合外力矩为Mc,角加速度为B.对于平动由质心运动定律得,

mac=mg-T (3)

对于转动由转动定律得,

Mc=JB=Tr (4)

因为溜溜球在运动过程中仅有转动,所以其质心加速度ac与中轴和细绳切点处的切向加速度at相等,

即ac=at.由于at=rB,故有,ac=rB (5)

联立(4)(5)消去B,得

把(6)代入(3),整理得

把(7)代入(5),得

如图3所示,根据S=12at2可计算出溜溜球单程

运动所需要的时间t为,

式中H为溜溜球单程运动的高度。

根据v2-v02=2as可计算出质心C下落的速度vc为,

式中h为溜溜球下落的高度。

因为vc=vt=rω,式中vt为中轴与细绳切点处的切向速度,X为溜溜球转动的角速度。故有

溜溜球下落过程中的平动动能和转动动能分别为

因此,溜溜球下落过程中的动能为,

由图3可以看出,溜溜球的重力势能为,

W势=mg(H-h) (15)

因此,W动+W势=mgH=const.(16)

把(10)(11)(12)(13)(14)(15)中的h换成（H-h）即可得到溜溜球上爬过程中的Vc、ω、mvc2/2、

Jω2/2、W动、W势,由此可得到(16)。

(7)(8)(9)(10)(11)说明,溜溜球的垂直加速ac,速度Vc,运动时间t和转动角加速度B,角速度X仅仅取决于它的质量m,转动惯量J和中轴半径r。可见,利用不同材料(改变m),不同中轴(改变r)和不同造型(改变J)就可制作出不同类型的溜溜球。

从(7)式可知,对于某一溜溜球来说,m,r,J都是确定不变的,即

的大小是确定不变的。因此,溜溜球的平动是匀变速垂直运动。同理,由(8)式可知,溜溜球的转动是匀变速转动。

(16)式说明,溜溜球在/上爬下走0运动过程中总机械能是守恒的。

5 对实际运动过程的分析

当溜溜球自由释放后,立即开始逆缠绕方向竖直下落,重力势能逐渐转换成平动动能和转动动能,随着重力势能的减少,下落的速度越来越快,转动的速度也越来越快。当细绳全部展开后,下落速度和转动速度达到最大值,这时原来的重力势能完全转化为平动动能和转动动能。由于转动惯性的作用,球体继续旋转,但此时细绳已经全部展开,溜溜球已不可能再往下走,

只能按照原来的旋转方向垂直上爬,我们简称这一过程为“转向”。溜溜球在转向过程中,转动动能没有损失,但由于细绳不是完全弹性体,所以平动动能有损失。因此,总机械能减少了,溜溜球则不能爬上下落时的高度。在转向中,有一部分转动动能转换成了平动动能,以补充损失的平动动能的一部分,使球体获得适当的上爬垂直速度。球体的上爬,是把转向时的平动动能和转动动能逐渐转化为重力势能的过程,亦即随着高度的增加,上爬的垂直速度和转动速度越来越小。当两个速度为零时球体不再上爬。如果要使溜溜球爬上下落时的高度,就必须在转向过程中,使溜溜球损失的平动动能得到足够的补充。以获取要爬上下落时的高度所需要的垂直初速度。这就是我们在玩溜溜球时,在细绳全部展开时就必须迅速上提溜溜球的原因。如果没有上提,球体则不能上爬到下落时的高度。

在此必须指出,以上分析并没有考虑空气的阻尼和细绳的摩擦阻力,二者对溜溜球的影响是不可忽略的。它们的作用也相应的消耗了一部分机械能。为了使损失的这部分机械能得到补充,我们往往在溜溜球下落时给以适当的初速度,当球体转向时又向上一提。

可见,要玩好溜溜球的关键是上提的时机和力的大小,甩和提是玩好溜溜球的两个基本动作。