导读:卡诺循环的工作物质可以是气体(理想气体或实际气体),液体,也可以是固体。现以范德瓦耳斯气体(实际气体)为例,计算卡诺循环的热功转换效率。 关键词:范德瓦耳斯方程,卡诺循环,热功转换效率 18世纪末19世纪初,蒸汽机的效率仍很低,只有3%-5%左右。这期间,大批科学家和工程师试图通过改良热机

的结构,减少漏热、漏气、摩擦等,来提高热机的效率,但进展相当缓慢。这使得他们认识到只从具体结构上改进热机是非常有限的。必须从理论上研究如何提高热机效率。修改。正是在这样一种时代背景下出现了法国青年工程师卡诺的工作。

1824年法国青年工程师卡诺研究了一个特殊而重要的循环,它包括两个等温过程和两个绝热过程。具体过程如图所示:

P

1→2 等温膨胀过程,1 2

2→3 绝热膨胀过程,

3→4 等温压缩过程,

4→1 绝热压缩过程。4 3

这一循环过程就被称为卡诺循环。卡诺循环的工作物质V

可以是气体(理想气体或实际气体)、液体,也可以是固

体。理想气体只是一种理想模型,并不真实存在。为了更具有普适性,我们就以实际气体为工作物质,来讨论卡诺循环。

1.范德瓦耳斯气体的内能及绝热过程方程

质量为,摩尔质量为的实际气体。其物质的量。则该气体的范德瓦耳斯方程:

…………(1)

其中=为内压强,它是对分子间引力引起的修正。是分子本身体积引起的修正。

1.1该气体的内能

=+(为分子无规则运动的动能,为分子间相互作用势能)。修改。又因为。所以…………(2)

1.2 该气体在绝热过程中的过程方程

首先由热力学第一定律: =,可知该气体在绝热过程()中,满足…………(3)

再由(2),(3)可得 :

即:

=

=0 。

则:成立。对其两边积分可得:常量…(4)

这就是该气体在绝热过程中的过程方程。修改。其中。

2. 卡诺循环热功转化效率的理论推导

2.1 等温膨胀过程(1→2 )

气体与温度为的高温热源保持接触,则。根据实际气体内能(2)式可知:该气体内能的微分表达式:= 。再由热力学第一定律: =,可得:

= +

=

积分得:

=㏑

表明该气体在这一过程中吸热。

2.2 绝热膨胀过程(2→3)

该气体在这一过程中与外界隔绝,吸收的热量为0。

2.3 等温压缩过程(3→4)

气体与温度为的低温热源保持接触,则在这一过程中。根据实际气体内能(2)式可知:该气体内能的微分表达式:= 。再由热力学第一定律: =,可得:

= +

=

积分得:

=㏑

表明该气体在这一过程中放热。

2.4 绝热压缩过程(4→1)

该气体在这一过程中与外界隔绝,吸收的热量为0。

综上所述:在整个循环过程完成之后。气体回到原来状态。内能变化为。由热力学第一定律:。可知:在整个循环过程中气体对外作净功应等于气体在循环中所吸收的净热量:

=㏑+㏑……(5)

因为:(2),(4)两个过程是准净态过程,则根据(4)式可得:

=………………(6)

=………………(7)

由(6),(7)得:

……(8)

将(8)代入(5)得:㏑

所以:在整个循环中,气体从高温热源吸取了热量,对外作功。故热功转化的效率:

=(9)

我们还注意到:该效率与用理想气体推导出的卡诺循环效率在形式上是一致的。不过(9)式是从一实际气体推导出来的,更具有普适性。此外,这效率恒小于1,原因是气体只把它从高温热源吸取的热量的一部分转换为机械功。其余的热量在低温热源放出去了。(9)式给出的热功转化效率的大小取决于两个热源的温度。这就为人们改良热机在理论上指明了方向。

参考文献

1.张兰知.热学[M].哈尔滨:哈尔滨工业大学出版社,2001

2.汪志诚.热力学·统计物理[M].北京:高等教出版社,1980

3.秦允豪.热学[M].北京:高等教育出版社,1999

4.李椿.热学[M].北京:人民教育出版社,1979