麦克斯韦在前人的基础上将电磁规律总结为方程组,以极其简洁的形式概括了相关的电磁规律,揭示了电磁相互作用的统一,并以此为基础建立了经典场论。虽然麦克斯韦的方程组很好地揭示了电场与磁场之间优美的对称性,准确预测了电磁波的存在,但是在其他一些现象的预测上仍存在一些缺陷。后来发展起来的量子电动力学(QED)在一些方面的研究中逐渐取代了经典场论。人们开始认识到:麦克斯韦方程组可以看作是量子力学在经典情况下的近似。量子电动力学是量子场论中发展时间最长也最为成功的一个理论,它完美地结合了量子力学和广义相对论。在电磁相互作用、带电粒子的产生和湮没等方面,量子电动力学实现了理论预测与实验数据的吻合,并给出了光与物质相互作用的本质[1]。在与此相关的理论研究中,研究者们一般都是从拉格朗日量出发,因此可以看出对于系统拉格朗日量的分析是大多数研究的基础和前提。

1导出麦克斯韦方程组的拉格朗日量

无论是在爱因斯坦场还是阿贝尔规范场中,比安基恒等式都有很重要的应用。从阿贝尔规范场的比安基恒等式出发,我们可以得到麦克斯韦方程组中的两个基本方程。在这个过程中,我们需要慎重考虑指标的升降问题,因为在电动力学中,我们一般都将指标写成下指标,而在场论中,我们需要考虑指标的收缩问题。对于麦克斯韦方程组中的另外两个方程,我们可以通过把比安基恒等式作为约束补充到自由电磁场的拉氏量中,并求解该拉格朗日量的运动方程得到。在这里的运算中,我们要保持运算的自洽性,也就是要由与前面得出两个方程的定义相一致的条件得出麦克斯韦方程组的后两个方程。对自由电磁场的拉氏量进行补充后,我们得到了一个新的二阶一般拉氏量。通过计算它的Hess矩阵,我们可以知道它的Hess矩阵是退化的,也就是说这个拉格朗日量是奇异的。它所描述的动力学系统是一个存在固有约束的正则哈密顿系统。我们还可以将这一部分加入到旋量电动力学的拉氏量中,得到的也是一个奇异拉氏量。旋量电动力学拉格朗日量描述的是自旋1/2的粒子与电磁场相互作用的系统,它本身的拉氏量也是奇异的。含有奇异拉格朗日量的系统在自然界中很常见,引力场、电磁场、超对称、超引力和超弦理论等都属于这类系统[2][3],所有规范不变的的系统也都是用奇异拉格朗日量来描述的。因此对于这样一个系统的研究可以有广泛的应用。

2 拉格朗日量的特点

对于这种系统的量子化和正则对称性质的分析,目前已经有了比较完整的阐述[4]。从狄拉克对动力学齐次变量的分析开始,Bergmann等人阐述了约束和不变性关系。他们的研究为约束系统的量子化奠定了基础。Shanmugadhasan和Kamimura分别探究了奇异性对拉格朗日方程的影响和拉格朗日约束与哈密顿约束的关系。而Sudarshan和Mukunda等人,也曾经从数学的角度出发,分析了狄拉克括号的结构。现代物理学中的约束正则系统在现代量子场论中起到了很重要的作用。

3对拉格朗日量的分析

对于我们前面得到两个的拉氏量,我们不能采取传统或者简单的高阶微商拉氏量的量子化方法。因为这个拉氏量中含有矢势的一次项和二次项,是一个一般的二阶拉氏量。传统的正则量子化方法中,需要通过线性组合获得最大数目的第一类约束,这种方法在这里不能使用。因为通过这个方法获得的第一类约束形式可变,数目不能确定,会干扰我们在量子化中得到的结果。而一般的高阶微商场论的量子化方法是针对时间的高阶项进行的,与我们的拉格朗日量中含有的对矢势的二阶项有很大不同。通过正则动量的定义,我们可以得到系统的初级约束,然后我们根据初级约束的自洽性条件,可以得到与一般约束系统不同的次级约束。

根据系统的初级约束、次级约束和正则Hamilton量,我们可以写出系统的总Hamilton量。只有在得到系统的所有初级约束和次级约束后,

我们才可以判断系统的约束属于第一类约束还是第二类约束。通过分析,可以发现将比安基恒等式补充到电磁场的拉格朗日量中后得到的二阶拉格朗日量在量子化过程中会得到三个初级约束中,两个次级约束。初级约束中有一个第一类约束,两个第二类约束。加上次级约束中一个第一类约束,我们就得到了两个第一类约束。要完成该系统的量子化,确定系统的演化,针对两个第一类约束,我们需要选择两个合适的规范固定条件进行量子化。而在将比安基恒等式补充到旋量场的拉格朗日量中后,我们得到的二阶拉氏量所描述的系统只有一个第一类约束。同样,我们通过选取的规范固定条件可以将第一类约束转变为第二类约束,消除变量的规范自由度。

4结语

针对能导出麦克斯韦方程组的拉格朗日量,我们进行了详细的分析。通过上面的尝试,我们得到了一系列的约束和规范固定条件。由所有约束与规范固定之间的泊松括号,我们可以得到一个泊松括号矩阵,这个矩阵是一个反对称的方阵。利用该矩阵的逆矩阵就可以构建狄拉克括号,实现系统的量子化。因此这个由约束和规范的泊松括号组成的矩阵必须是非退化的。也就是所有约束与规范固定之间的泊松括号构成的矩阵的秩不能为零。在最后构建出的狄拉克括号中,有些不为零的狄拉克括号,其中有些式子会与自由电磁场在辐射规范下的狄拉克括号相同,其它的则是我们得到的新结果。