“测单摆周期最佳计时起点”问题一直是教师不易说清、学生不易弄懂的一个问题，笔者从理论与学生实验的角度对这一问题进行了探究，给出结论：在摆长较长情况下，测周期最佳位置确实是平衡位置处，但因为偶然误差影响较大，所以在学生实验中不必过分苛求摆长以及从平衡位置处开始计时。

1．问题的提出

在人教版选修3-4课本第11章第4节“单摆”中，“实验：探究单摆周期与摆长的关系”环节有如下叙述：

“按下停表开始计时，再按下停表计时终止。为了测量周期，摆球到达哪个位置的时刻作为计时开始与停止的时刻比较好？图11.4-7给出了两个选择。你选择哪个？说出道理。”（注：本文中用图1所示）

教学在此处结论是：小球经过平衡位置开始计时更准确。但具体这样要求的理由是什么呢？往往很难向学生解释清楚。

2．理论解释

如果以平衡位置处和最大位移处都有标记为例，那么误差产生原因应该来自人对摆球经过标记处的反应时间。即Δt＝s/v，其中s是人大脑判断摆球已到标记处到按下秒表间摆球经过的位移，这与平衡位置处到最大位移处的s近似相等。又因为平衡位置处v较最大位移处大，从平衡位置处开始计时Δt小，对应误差小。

不过这样的解释学生往往不信服。

3．实验解决方案

物理是以实验为基础的学科，既然这个问题是在实验过程中产生的，大家也就自然联想到从实验入手解决问题。实验方案如下：

器材：学生分组实验所用单摆，刻度尺，数字秒表，

步骤：从左侧最大位移处开始计时，记录30个周期所用时间；从右侧最大位移处开始计时，记录30个周期所用时间；从平衡位置开始计时，记录30个周期所用时间；每种计时位置重复测量3次，增加摆绳长度，重复上面测量过程。

4．实验数据整理与分析

实验1：利用机械秒表、摆长53.44cm的单摆测周期

为使研究结果代表学生实验结果，我们利用学生分组实验中使用的普通单摆进行测量，单摆摆长为53.44cm，计时工具为机械秒表，秒表计时估读到0.01s。实验数据如下：

经查表，北京的重力加速度为9.801m/s2，代入单摆周期公式，计算结果为T＝1.466s。以1.466s为此次实验单摆周期真实值，在不同位置开始计时周期测量值相对误差如下：平衡位置处为0.34%，左侧最大位移处为0%，右侧最大位移处为0.14%。相对误差结果表明在最大位移处的周期测量结果更接近真实值。这一实验结果令人很吃惊，原因可能是实验误差过大，误差来源可能是由于摆长较短造成系统误差过大，也可能偶然误差过大造成，当然还有可能“平衡位置为最佳测周期计时位置”结论是错误的。为此我们又对器材进行了改进，再次测量。

实验2：利用机械秒表、摆长104.1cm的单摆测周期

为减小实验误差，重复测量时，摆长增加到了104.13cm，同样测30次周期的时间，机械秒表计时估读到0.01 s。实验数据如表2。

将摆长104.13cm代入单摆周期公式，计算的结果为2.046s。从这一次的实验数据来看，仍以计算结果2.046 s为此次实验单摆周期真实值，在不同位置开始计时周期测量值相对误差如下：平衡位置处为0.98%，左侧最大位移处为1.08%，右侧最大位移处为1.12%。。

本次实验结果显示“平衡位置处开始计时测得周期”相对误差较小。但对比两次实验数据又发现一个新问题：第二次实验器材更理想，但是以平衡位置处计时为例，第1次实验相对误差是0.34%，而摆长增大后实验相对误差为0.98%，说明在系统误差减小的情况下，实验相对误差还增大了，那么可能是实验中偶然误差过大造成。为此，我们又对器材进行改进，做了第3次实验。

实验3：利用数字秒表、摆长92.25cm单摆测周期

为进一步确定，在贴近学生实验真实情景前提下，我们又对实验装置进一步改进，将机械秒表换成数字秒表，摆长选取92.25 cm，同样测30个周期的时间。实验数据如表3。

将摆长92.25cm代入周期公式，计算结果为1.927 s。从这一次的实验数据来看，仍以计算结果1. 927 s为周期真实值，在不同位置开始计时周期测量相对误差如下：平衡位置处为0.1%，左侧最大位移处为0.36%，右侧最大位移处为0.1%。从本次实验数据来看，在“平衡位置处”和“右侧最大位移处”相对误差一样，较“左侧最大位移处”相对误差小，说明“平衡位置处”相对误差较小，但“平衡位置处”和“右侧最大位移处”相对误差一样，说明在本次实验中偶然误差影响较大。对比分析实验3与实验2数据，以“平衡位置处”为例，相对误差分别为0.1%和0.98%，说明本次实验在“同一位置处”相对误差最小。

5．实验结论与建议

对比分析上面3次实验结果，会发现一些有用的结论：

结论1：在摆长较长情况下，平衡位置处较最大位移处开始计时更准确。

对比3次实验结果，随着实验器材改进，可以初步得出在摆长1m左右，从平衡位置处开始计时较最大位移处开始计时测得周期相对误差更小。如果摆长较小，比如50cm左右，由于偶然误差的影响，那么从平衡位置处开始计时与从最大位移处开始计时没有差别，甚至会出现从最大位移处计时测量结果更准确的现象。

结论2：运用机械秒表测周期对摆长要求不高。

实验2与实验1对比，同样用机械秒表，摆长增加，系统误差会减小，理论上实验2较实验1数据会更准确，但是我们却发现从同一位置计时情况看，第2次较第1次相对误差还大。实验中系统误差已减小，只能是由于偶然误差的影响，导致相对误差更大。

从目前中学实验室的器材配备情况来看，学生分组实验中更多采用机械秒表来测周期，学生在实验过程中虽然可以增加摆长，但一般也就是在1m左右范围内，那么偶然误差影响很大这一结论就会导敢学生测量结果的不确定。即无论是摆长为50cm还是用100cm的单摆，学生测得的实验结果可能误差一样，甚至会出现摆长小误差小的现象，为此在实验过程中对摆长要求不高，超过50cm应该都可以。

结论3：学生实验不用苛求计时位置。

从教学实践来看，学生分组实验中实验精度要求并不高，即用普通单摆，而且机械秒表读到0.1 s位。如果按照机械秒表读到0.1s位的话，将原实验1周期原始数据最后一位四舍五入处理。分析如下：

单摆周期计算结果取3位有效数字为1. 47s，可以看出平衡位置处的数据结果相对误差更大。所以，为减小试验误差的影响，从仪器读值角度来看，机械秒表应该估读读到0.01s。