方法2、用动能定理和动量定理求解
A刚好没有滑离B板,表示当A滑到B板的最左端时,A、B具有相同的速度,设此速度为v,经过时间为t, A和B的初速度的大小为v0,则据动量定理可得:
对A:ft=mv+mv0 ①
对B:-ft=Mv-Mv0 ②
解得:v=-v0,方向向右
A在B板的右端时初速度向左,而到达B板左端时的末速度向右,可见A在运动过程中必须经历向左作减速运动直到速度为零,再向右作加速运动直到速度为v的两个阶段。设L1为A开始运动到速度变为零过程中向左运动的路程,L2为A从速度为零增加到速度为v的过程中向右运动的路程,L0为A从开始运动到刚好到达B的最左端的过程中B运动的路程,如图2所示,设A与B之间的滑动摩擦力为f,则由动能定理可得:
对于B:
-fL0=-Mv2--Mv02 ③
对于A:
-fL1=--mv02 ④
f(L1-L2)=-mv2 ⑤
由几何关系
L0+L2=L ⑥
由①、②、③、④、⑤、⑥联立求得L1=-
方法3、用能量守恒定律和动量守恒定律求解
A刚好没有滑离B板,表示当A滑到B板的最左端时,A、B具有相同的速度,设此速度为v, A和B的初速度的大小为v0,则据动量守恒定律可得:
Mv0-mv0=(M+m)v
解得:v=-v0,方向向右
对系统的全过程,由能量守恒定律得:
Q=fL=-(M+m)v02--(m+M)v2
对于A fL1=-mv02
由上述二式联立求得
L1=-
点评:从上述三种解法中,不难看出,解法三简洁明了,容易快速求出正确答案。因此我们在解决动力学问题时,应优先考虑使用能量守恒定律和动量守恒定律求解,其次是考虑使用动能定理和动量定理求解,最后才考虑使用牛顿第二定律和运动学公式求解。
【例题4】如图所示,A、B两滑块的质量均为m,分别穿在光滑的足够长的水平固定导杆上,两导杆平行,间距为d。用自然长度也为d的轻弹簧连接两滑块。开始时两滑块均处于静止状态,今给滑块B一个向右的瞬时冲量I,求以后滑块A的最大速度。
学生常见错解展示:B受到向右的瞬时冲量I后,获得向右的瞬时速度vB=-,之后,A、B系统所受外力之和为零,动量守恒,设A、B达到的共同速度为vAB,由动量守恒定律得
mvB=2mvAB
则vAB=-vB=-
此即为A的最大速度
【错解分析】以上求解错在误将A、B的共同速度当作A的最大速度。其实,AB达共同速度时,弹簧处于伸长量最大的状态,此时弹簧的弹力对A来说是动力,A继续加速,当弹簧的弹力与轻杆垂直,即弹簧恢复原长时,A的加速度为零,速度才达最大。
正确的解题过程为:弹簧恢复原长时A的速度达最大,设为vm,设此时B的速度为vB'。由系统动量守恒和机械能守恒定律得
mvB=mvm+mvB'
-mvB2=-mvm2=-mv'B2
经求解可知vB'=0,vm=vB=-
点评:A、B通过弹簧而发生的相互作用过程,类似于质量相等的两个物体发生完全弹性碰撞而交换速度的过程,当B与A交换速度时,B的速度为零,而A的速度为作用前B的速度,即为最大值。
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