导读:微商的概念是从大量实际问题为背景提炼出来的一种函数运算的极限,它与物理学的许多基本规律和基本物理量的定义有着密切的关系。因此,理解微商的概念在学习普通物理学中变得尤为重要,运用导数是微分之商,可以很巧妙地解决一些物理学问题。这种方法在解决在阻力作用下的抛体问题时优势更加明显,尤其是阻力与速率有关的情况

。这是力学中较为复杂的问题,因为物体所受到的合外力是速率的二次函数,不采用微积分的方法很难求解。

关键词:极限,微商,积分,抛体运动,阻力

微商的概念是从大量实际问题为背景提炼出来的一种函数运算的极限,它与物理学的许多基本规律和基本物理量的定义有着密切的关系。因此,理解微商的概念在学习普通物理学中变得尤为重要,运用导数是微分之商,可以很巧妙地解决一些物理学问题。

一、力学中的微商概念

以质点运动学为例,若一质点在水平的轴上作直线运动,它的位置坐标是时间的函数,可表示为

其中为自变量,为因变量。在任意一个确定的时刻,有确定的坐标。

若要求时刻的速度,可以取时间段,则这段时间内位置坐标的改变量为

则表示这段时间内的平均速度,记为

由于质点的速度是不均匀的,只是质点在时间内的速度的平均值,它与的大小与符号有关。若时,就可以认为是质点在时刻的瞬时速度,即

则上式可表述成:若在时刻时间改变时,坐标相应改变量为,则当时,的极限就是质点在时刻的瞬时速度,它是函数在时刻的微商。而根据高等数学中导数的定义可知

所以,表示导数的符号就不能只看成是一个整体符号,它还表示导数是函数的微分和自变量的微分的商。。在力学中表示时间内的位移,称为位移元,是个无穷小量。

如果质点作曲线运动,只需要将结论推广到三维空间,即

就是说速度是位移随时间的变化率的极限值。在这个运算中,关键是正确理解分段()和求极限的概念。

加速度也有类似的定义

即速度微分和自变量时间微分的商。

物理学中类似的定义还有很多,比如:角速度是角位置的微分与时间微分的商,角加速度是角速度的微分与时间微分的商,电流是电荷量的微分与时间微分的商,感应电动势是磁通量的微分与时间微分的商,等等。

导数既然是一个分数,是两个微分之商,那么它的分子分母就可以单独参与乘除运算。我们正是利用这个概念巧用微商的。

二、力学中微商的巧妙运算

直线运动的速度表达式可以改写为,同理,加速度的表达式也可以改写成。虽然这只是一个小小的变形,但在物理学中却有很大的用途。因为力学中的一类问题就是:已知质点的运动状态,求运动方程,必须采用积分运算,所以首先要把运动状态的加速度和速度表示为上面的微分形式,然后再对微分表达式求定积分。而在积分前,需要把等式两边的被积函数中的变量与积分变量统一,在化简时如果采用微商变形,可以使问题大大简化。下面通过几个例子对这种方法进行详细说明。

例一 质点的动能定理的推导。

如图所示,一质量为的质点在合外力的作用下,自点A沿曲线移动到点B,它在点A和点B速率分别为和,求此过程中合外力所作的功。

解决这个问题的第一步是要将整个运动过程分割成无限多个微元,微元上的位移元为,显然它沿着运动轨迹的切线方向。假设该位置处合外力与位移元之间的夹角为,则合外力对质点所作的功的微分为

而位移元的大小和路程微分相等,即,所以

由牛顿第二定律及切向加速度的定义,有

故可得

在这里把看成是速率的微分与时间微分的商,可以分开,而把路程的微分与时间微分结合成一个商,这个商就是速率,所以,功的微元变成

对上式积分,于是质点自点A沿曲线移动到点B过程中,合外力所作的总功为

这就是质点的动能定理。

这种方法在解决在阻力作用下的抛体问题时优势更加明显,尤其是阻力与速率有关的情况。

例二 一个质量为的物体,由地面以初速率竖直向上发射,物体受到的空气的阻力为,求物体发射到最大高度所需要的时间和最大高度。

物体在发射过程中,同时受到重力和空气阻力的作用,但阻力是一个随速率变化的力,因此合外力是速率的一次函数,直接运用牛顿定律解题有一定难度。。而如果把动 力学方程改为,把加速度用速度的微分和时间微分的商来表示,可以把方程变成微分形式,利用积分求解,比较方便。 物体在空气中受到重力与阻力作用而减速,由牛顿定律得 统一变量变形得 根据始末条件,对上式积分,有 在求解最大高度时,需要把采用

分子、分母同乘以,即,再巧用速率是微分和的微商概念,变形为

所以,动力学方程变为

对上式积分

积分结果为

微商概念也经常用来求在变力作用下的路程问题。

例三 一质量为的摩托车,在恒定的牵引力作用下工作,它所受的阻力与其速率的平方成正比,它能达到的最大速率是,求从静止加速到所需要的时间以及所走的路程。

这是力学中较为复杂的问题,因为物体所受到的合外力是速率的二次函数,不采用微积分的方法很难求解。而使用微商概念可以使问题迎刃而解。

假设摩托车沿轴正方向运动,在牵引力和阻力同时作用下,由牛顿定律得

当加速度为零时,摩托车的速率最大,因此 ,所以动力学方程变为

积分

如果利用微商可以巧妙变形为

则动力学方程变为

方程两边积分

从上面三个例子可以看出,用微商概念可以较轻松地解决力学中较为复杂的问题,关键在于巧妙、反复运用微商简化问题。。

微商不仅在力学中有巧妙的运用,在电磁学中也有很多用途,而我们这种巧用微商变形的构思当然也是适用的,可见这种方法对于学习物理学有极大的好处。

参考文献:

[1]马文蔚,《物理学》,高等教育出版社。

[2]同济大学数学教研室组编,《高等数学》,同济大学出版社。

[3]王楚 等,《基础物理中的数学方法》,北京大学出版社。