摘要：荡秋千是我国各族人民普遍喜爱的一种民间体育运动。通过运用质点系运动定律对人与秋千组成的力学系统进行详尽分析,从而得出秋千越荡越高,其能量来源于人体变形过程中非保守力作功。从推导过程中还可明显看出荡秋千的技术要领。通过这一典型问题的深入探讨有利于我们深刻理解质点系运动定律并正确运用它解决实际问题。

关键词:系统;机械能;运动矩;策动力;非保守内力;约束反力;功

荡秋千是我国各族人民普遍喜爱的一种民族体育运动。秋千和人组成的系统是一个类似原摆的振动系统。然而问题并非如此简单,对于人和秋千所组成的系统来说,并不存在作为策动力的周期性变化的外力。在荡秋千的过程中,系统所受外力只有悬点的约束反力,悬点是固定的,此力并不作功。又因在荡秋千的过程中,人体是一个变形体,我们也不能简单地把人和秋千组成的系统当作一个单摆或复摆看待。下面我们运用质点系的有关运动定律对荡秋千的全过程进行较为详尽的分析。

1力学模型

如果把人和秋千组成的系统看作一个摆,摆线在O点处是固定的,摆线自身的伸缩和摆线的质量忽略不计。设想人在最大偏转角处迅速下蹲,在最低点处迅速站立,下蹲和站立的过程都在瞬间完成。人体的下蹲和站立导致了系统质心的升降,相当于有效摆长改变。这样,我们就把人和秋千组成的系统抽象为一个摆长可变的原摆,称之为可变摆长原摆模型。如图1所示。完成第一次摆动质心所走的路径为a-d-e-b-c,图中人站立时的等效摆长oa=ob=oc=l1,人下蹲时的等效摆长od=oe=of=l0,l0ll。

2运动过程分析

现在我们把人!秋千和地球所组成的系统作为研究对象,这样在荡秋千的全过程中,系统所受到的外力只有悬点的约束反力,其值与摆线张力T相同,为一变力。但是,因为悬点固定,此外力并不作功。重力为保守力,使人下蹲和站起的力为非保守内力。根据功能原理:"一切外力与非保守内力所作功之和等于质点系机械能的增量。"因为外力并不作功,所以有Aλ=ΔE。现在我们来研究图。所示的可变摆长单摆模型的第一次摆动。

a-d:人体下蹲:因为va=vd=0,故

(1)

d-e:自由摆动,人体没有变形,系统机械能守恒。

e-b:人体站立,又因此过程中重力和张力对悬点O的力矩为0,所以动量矩守恒。

注意在此过程中人体内力所作的功一部分转化为系统的重力势能,而另一部分转化为能.其动能增量与初始摆角θ0有关,θ0愈大动能增量愈大。

b-c:自由摆动,人体无变形,系统机械能守恒,且vc=0。

整个a-d-e-b-c过程（即第一次摆动）中人体非保守力所做的功：

上式中Δh1为经过第一次摆动质心上升的高度。根据功能原理:

显然,图2所示的第二次摆动c-f-e-b-a完全与第一次摆动类似。

可见,每次摆动所升高的高度与摆线的长度,质心变化的幅度及该次摆动的初始偏角有关.当l0,l1一定时,仅决定于该次摆动的初始偏角。初始偏角愈大,人体在平衡位置站起的过程中所做正功愈多,因而上升高度愈高。当θn-1π/2时,收缩身体时内力亦做正功,故Δh更大.若将摆线改为刚性轻杆,随着摆动次数的增加,将使θ≥π,其后系统将作圆周运动而不再来回摆动。当θ0=0时,Δh1=0。也就是说,如果初始位置在铅直位置,则秋千无法荡起。

以上讨论没有考虑荡秋千过程中空气阻力等因素的影响,而实际过程中这些因素不可避免。因此,只要每次摆动过程中AλA阻,则秋千越荡越高;当Aλ=A阻时,系统作等幅振荡.显然,荡秋千的技术要领应是:在最大偏角处人体迅速下蹲,在最低处人体迅速站立,并且应使第一次摆动的初始角θ0尽可能大。

3正确理解质点系的运动定律

从本文的分析可以看出,用受迫振动时发生共振的条件去解释荡秋千的过程显然是不合理的。但是还有人会提出下面的问题:/人和秋千是一个系统,人荡秋千的力应是内力,而系统的内力不能改变质心的运动状态,人为什么能把秋千荡高?这个问题本身把质心运动定律,质点系的动量定理和质点系的功能原理三方面从不同角度描述质点系运动的力学规律搅在了一起,很容易使人误入迷津,陷于困境。其实只要搞清楚上述三个规律的区别与联系,问题就会迎刃而解。功能原理告诉我们:质点系机械能的增量等于外力所做的功与非保守内力的功的代数和。荡秋千时外力虽然不做功,但人体变形时非保守内力做功。只要一次摆动中非保守内力做正功,系统的机制能必定增加。而质心运动定律和质点系统动量定理表明,质心加速度的产生以及质点系总动量的变化一定要求系统所受的合外力不为0,内力不能改变系统质心的运动状态。我们知道,任何一个力学过程,必须经历一段时间,只要合外力不为0,必定产生外力的冲量。但此过程中外力并不一定做功。荡秋千时系统机构能的增加来自人体变形时非保守内力所做的功,而系统质心运动状态的改变则是由于外力的冲量即悬点处约束反力的冲量所导致的。

可见,质点系机械能的改变,并不一定需要外力做功,非保守内力做功也能改变系统的机械能。而质点系质心运动状态的改变必须借助外力,但外力不一定要做功,只要有一定的冲量即可。比如,汽车启动,其动能增加源于发动机中燃油燃烧,气体膨胀,推动活塞,驱动车辆……总之,要靠燃油燃烧,非保守内力做功,化学能转化为机构能。而汽车加速度的产生却有赖于驱动轮与地面之间的静摩擦力。而静摩擦力并不作功,这是人所共知的事实。

功是描述力对空间累积作用的物理量,冲量是描述力对时间累积作用的物理量。只要深刻理解这两个物理量及其作用效果的区别与联系,在分析实际问题时就不会产生一些模糊不清的想法。