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高考物理复习：运用向量方法解决轨迹问题

查字典物理网 2015-10-29

近几年高考中轨迹方程问题常与向量相结合，向量引入圆锥曲线可以启迪我们从一个新的角度去分析、解决问题，有利于开发智力，提高能力。在解析几何中充分运用向量的知识，常能使很多繁琐的计算变得简单易行，起到事半功倍的效果。笔者以教学中所遇的几例加以说明。

一、直接法求轨迹方程

例1：如图，已知F(1,0)，直线l：x=-1，P为平面上的动点，过点P作l的垂线，垂足为点Q，且-·■=-·■。

(Ⅰ)求动点P的轨迹C的方程；

(Ⅱ)过点F的直线交轨迹C于A,B两点，交直线l于点M。

(1)已知-=1-,-=2-，求1+2的值；

(2)求-·■ 的最小值。

解法一：(Ⅰ)设点P(x,y)，则Q(-1,y)，由-·■=-·■得：

(x+1,0)·（2，-y)=(x-1,y)·(-2,y)，化简得C:y2=4x

解法二：(Ⅰ)由-·■=-·■得：-·（-+-)=0，

∴(---)·（-+-)=0

∴-2--2=0

∴|-|=|-|

所以点P的轨迹C是抛物线，由题意，轨迹C的方程为：y2=4x。

(Ⅱ)解法从略。

【点拨】本小题主要考查直线、抛物线、向量等基础知识，考查轨迹方程的求法以及研究曲线几何特征的基本方法，考查运算能力和综合解题能力。

例2：设过点P(x,y)的直线分别与x轴的正半轴和y轴的正半轴交于A，B两点，点Q与点P关于y轴对称，O为坐标原点，若-=2-且-·■=1，则点P的轨迹方程是( )

A.3x2+-y2=1(x0,y0)

B.3x2--y2=1(x0,y0)

C.-x2-3y2=1(x0,y0)

D.-x2+3y2=1(x0,y0)

解：设P(x，y)，则Q(-x，y)，又设A(a，0)，B(0，b)，则a0，b0，于是-=(x,y-b),-=(a-x,-y)，由-=2-可得a＝-x，b＝3y，所以x0，y0又-＝(-a，b)＝(--x，3y)，由-·■=1可得-x2+3y2=1(x0,y0)，所以选D。

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